Ə. Elçibəy 1938-ci il iyunun 24-də Ordubad rayonunun Kələki kəndində anadan olub. 1988-ci ildə Azərbaycanda başlayan xalq hərəkatının öndərlərindən biri, Azərbaycan Xalq Cəbhəsini yaradanlardan olub.

1992-ci ildə prezident seçilən Əbülfəz Elçibəy bir il sonra Gəncədə başlayan qiyam nəticəsində Bakını tərk edərək Kələkiyə gedib. Milli Məclisin qərarı ilə səlahiyyətləri ləğv edilən Əbülfəz Elçibəy fəaliyyətini Azərbaycan Xalq Cəbhəsi Partiyasının və Bütöv Azərbaycan Birliyinin sədri kimi davam etdirib.

Uzun sürən ağır xəstəlikdən sonra 2000-ci ilin avqustun 22-də Türkiyənin Gülhanə Hərbi Tibbi Akademiyasında dünyasını dəyişən Əbülfəz Elçibəyin nəşi Bakıya gətirilərək Fəxri xiyabanda dəfn edilib.